Matice M×N je obdélník čísel, obsahující celkem MN čísel, rozdělených do M řádků a N sloupců. Pokud píšeme A=(aij), myslíme tím, že matice A obsahuje v j-tém sloupci i-tého řádku číslo aij. Všimněte si, že na rozdíl od běžných zvyklostí v počítačové grafice vyjadřujeme v matematice první souřadnicí číslo řádku, druhou souřadnicí číslo sloupce. Také se řádky i sloupce obvykle číslují od jedničky, ne od nuly.
Sčítat (a odčítat) můžeme jen matice stejného rozměru. Transpozicí matice M×N získáme matici N×M – jedná se o záměnu sloupců a řádků.
| Sčítání/odčítání matic: | C=A±B | cij = aij ± bij |
| Násobení skalárem: | B=k⋅A=A⋅k | bij = kaij |
| Transpozice matice: | B=AT | bij = aji |
| Komutativita: | A+B=B+A | |
| Dvojí transpozice: | (AT)T=A |
Matici rozměrů M×N můžeme vynásobit libovolnou maticí rozměrů N×P,
přičemž výsledkem je matice o rozměrech M×P. Násobení probíhá tak, že
každé číslo výsledné matice získáme jako skalární součin příslušného řádku
první matice s příslušným sloupcem druhé matice.
Násobení matice a vektoru se provádí stejně, neboť vektor se dá považovat
za matici 1×N (řádkový vektor), výsledkem je opět řádkový vektor 1×P.
| Násobení matic: | C=A×B=AB | cij = ∑k=1…N(aikbkj) |
| Násobení matice vektorem: | v=u×A | vi = ∑k=1…N(ukbki) |
| Nekomutativita: | BA=(ATBT)T |
Determinant je v matematice jako takové používán velice často, ovšem v počítačové grafice se příliš často nevyskytuje. Přesto se na několika místech používá (např. se vyskytuje v jedné z definic vektorového součinu). Co tedy vlastně determinant je? Je to číslo, jistým speciálním způsobem přiřazené čtvercové matici (pro jiné matice není determinant definován), které tuto matici nějakým způsobem charakterizuje. Detaily přenechám čtenáři na další samostatné studium.
| Obecná definice: | det A = ∑π(−1)r(π)a1j1…anjn; π=(j1 j2 … jn) |
| Determinant matice 2×2 | det A = a11a22−a12a21 |
| Determinant matice 3×3 | det A = (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32) − (a11a32a23+a12a21a33+a13a22a31) |
| Rozvoj podle i-tého řádku | det A = ∑j=1…n(−1)i+jaijAij |
Poznámky: V obecné definici se sčítá přes všechny permutace
π=(j1 j2 … jn)
množiny čísel 1, 2, …, n. r(π) značí počet inverzí permutace π.
Rozvoj podle řádku (obdobně možno i podle sloupce) slouží k výpočtu determinantu
matice řádu N pomocí výpočtu N determinantů matic řádu N−1. K tomu se zavádí
tzv. subdeterminant matice A příslušný prvku aij (značený Aij),
který vyjadřuje determinant matice vzniklé z matice A odstraněním i-tého
řádku a j-tého sloupce.
| Nulová matice O: | aij = 0 |
| Jednotková matice E: | aii = 1; i≠j ⇒ aij = 0 |
| Neutralita E: | EX=X, uE=u, … |
| Diagonální matice: | i≠j ⇒ aij = 0 |
| Symetrická matice: | aij = aji, tzn. A=AT |
| Dolní (resp. horní) trojúhelníková matice: | i<j (resp. i>j) ⇒ aij = 0 |
| Regulární matice: | det A ≠ 0 |
| Singulární matice: | det A = 0 |
Inverze matice je jakousi obdobou dělení. Inverzní matice je definována pouze pro čtvercové
matice, pro jiné nemá smysl. Pokud matici vynásobíme její inverzní maticí,
získáme jednotkovou matici. Existuje zde ovšem i obdoba dělení
nulou – matice má inverzi tehdy a jen tehdy, je-li regulární.
| Definice: | B=A−1 | A×B=B×A=E |
| Přímý výpočet: | B=A−1 | bij=(−1)i+j⁄det A⋅Aji |
Poznámka: Ve vzorci pro přímý výpočet značí Aji subdeterminant, definovaný v poznámce u definice determinantu.
Pro praktický výpočet inverzní matice větších rozměrů je ovšem obvykle lepší
následující metoda:
Máme invertovat matici A řádu n×n. Sestavíme matici o n řádcích
a 2n sloupcích tak, že za n sloupců matice A napíšeme
n sloupců jednotkové matice. Dále upravujeme matici elementárními řádkovými
úpravami (viz dále) tak, abychom v prvních n sloupcích získali
jednotkovou matici. Pokud se to podaří, obsahuje druhých n sloupců
matici A−1.
Elementární úpravy jsou takové operace, které nemění hodnost matice (počet lineárně nezávislých řádků/sloupců). Jsou následující: