| Nulový vektor: | o = (0, …, 0) |
| Opačný vektor: | −(x,y,z) = (−x, −y, −z) |
| Sčítání vektorů: | (x,y,z) + (u,v,w) = (x+u, y+v, z+w) |
| Odčítání vektorů: | (x,y,z) − (u,v,w) = (x−u, y−v, z−w) |
| Násobení vektoru skalárem: | s(x,y,z) = (sx, sy, sz) |
| Lineární kombinace vektorů: | a(x,y,z) + b(u,v,w) = (ax + bu, ay + bv, az + bw) |
| Délka vektoru (Euklidovská): | |(x,y,z)| = √(x² + y² + z²) |
Skalární součin je operace nad dvěma vektory, přičemž výsledkem je skalár.
Tento skalár udává v podstatě míru shodnosti směru obou vektorů. Lze
pomocí něj tedy zjistit úhel mezi oběma vektory (dále ho značíme α).
| Skalární součin: | (x,y,z) ⋅ (u,v,w) = xu + yv + zw |
| Komutativnost: | x⋅y = y⋅x |
| Vyjádření pomocí úhlu: | x⋅y = |x||y|cos α |
| Úhel mezi vektory: | α = arccos(x⋅y⁄|x||y|) |
| Projekce vektoru x do vektoru y: | p = (x⋅y)y |
Vektorový součin je operace nad dvěma vektory, dávající opět vektor, který
je kolmý k oběma předchozím. Ze dvou směrů, které splňují tuto podmínku
pro libovolné dva nerovnoběžné vektory, má vektorový součin ten, který
splňuje pravidlo pravé ruky (pokud palec pravé ruky ukazuje ve směru prvního
operandu, ukazovák ve směru druhého operandu, pak výsledek ukazuje stejným
směrem jako prostředník).
Délka vektorového součinu je úměrná úhlu mezi oběma vektory, pro rovnoběžné
vektory (nulový úhel mezi nimi) je vektorový součin nulový vektor. Délka
vektorového součinu je rovna ploše rovnoběžníku, jehož dvě strany jsou dány
oběma vektory.
| Vektorový součin: | (x,y,z)×(u,v,w) | = | (yw−vz, zu−wx, xv−uy) | ||||
| / | x | y | z | \ | |||
| Definice pomocí determinantu: | (x,y,z)×(u,v,w) | = det | | | u | v | w | | |
| \ | e1 | e2 | e3 | / | |||
| Délka vektorového součinu: | |x×y| | = | |x||y|sin α | ||||
| Nekomutativita: | x×y | = | −y×x | ||||
Poznámka: V definici pomocí determinantu označují e1, e2, e3
vektory souřadných os (e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)).
Definice pomocí determinantu se snadno rozšíří i do vyšších rozměrů. Je ovšem
třeba si uvědomit, že ve vyšších rozměrech je zapotřebí i více operandů:
např. vektorový součin ve 4D je ternární operací.
Smíšený součin se příliš nevyužívá, ovšem pro úplnost: Smíšený součin je operace nad třemi vektory, jejím výsledkem je skalár, jehož absolutní hodnota udává objem rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou dány příslušnými vektory.
| Smíšený součin: | V = (x×y)⋅z |